ML学习笔记 #06 神经网络基础

本文最后更新于:2022年11月16日 中午

回顾之前学的模型,无论是线性回归还是逻辑回归都有一个缺点,即:当特征太多时,计算的负荷会非常大。而有时候,我们又希望用高次多项式来拟合更复杂的情形,此时特征数更是成倍增长。

在计算机视觉(Computer Vision)领域,数据的输入往往是一张张由像素(pixel)构成的图片。一张 的图片中包含 个像素点,如果算上 RGB 色值则有 个特征,更别提包含平方、立方项特征的非线性假设了。而神经网络则是适合学习复杂的非线性假设的一类算法。

神经网络 | Neural Network

神经网络起源于科学家对人脑神经元的模拟,早期应用十分广泛,后来由于计算量过大而逐渐没落,直到近些年硬件的增强,大规模的神经网络才得以训练和应用。

神经元模型 | Neuron Model

神经网络模型建立在许多神经元之上,每个神经元也被称为激活单元(Activation unit),它采纳一些特征作为输入(input),并且根据本身的模型提供一个输出(output)。神经网络就是大量神经元相互连接形成的一个网络。

激活单元(图中黄色结点)就是一个函数,根据若干输入信息 以及其权重 ,得到一个输出信息 ,即: 也称作激活函数(Activation Function),一般可以采取 函数 .

注:上图省略了 这一偏置项(Bias unit),偏置项不仅可以是输入层的人为特征,也可以是隐藏层的一个常量单元

为什么 函数可以作为激活函数?事实上激活函数有很多种,他们的共同特点都是引入了非线性假设。早期的神经网络使用 的原因还有:输出可映射到 Bernoulli 分布,可以作为概率解决分类问题;求导计算方便。

网络的表示 | Presentation

神经网络是许多神经元按照不同层级组织起来的网络。第一层被称作输入层(Input Layer),最后一层被称作输出层(Output Layer),中间其他层被称作隐藏层(Hidden Layer),意味着「不可见」。隐藏层和输出层具备激活函数功能,而输入层仅仅是特征的拷贝。

  • 表示输入层的第 个输入特征,其中 偏置项省略;
  • 表示第 层的第 个激活单元,其中 偏置单元省略;
  • 表示第 层的神经元数量(不包含偏置项), 表示加上偏置项后的
  • 表示第 层到第 层的权重矩阵 表示所有权重矩阵的集合

所以,由上图我们可以列出: 简写作矩阵形式,可得到前向传播(Forward Propagation)公式:

是不是像极了逻辑回归 ,只不过特征 换成了上一层 ,假说 变成了当前层 。当然,由于每一层的关联性,最终的假说 依旧是特征 非线性组合

而随着每一层的深入,特征会变得越来越「抽象」,这些新特征远比单纯 的多项式来得强大,也能更好的预测数据。这就是神经网络相比于逻辑回归和线性回归的优势。

有的地方会把偏置项对应的偏置向量 单独拿出来,使得 ,以求形式的统一:

实现逻辑门

神经网络与逻辑门有何种联系?我们知道 函数具有将数值映射到 的能力,而逻辑门也是类似。那么就可以把逻辑门看作一个简化的二分类问题,用神经网络对其训练。通过这个例子能够直观地理解神经网络中参数的作用,首先来看最简单的与门

考虑一个输入层有 个特征且取值 、输出层有 个神经元且取值 的神经网络。如果我们将权重参数设置为:,那么我们有:

输入 1输入 2输出
00
01
10
11

这样实现了一个与门的功能,同理,或门 、非门 也可以用两层网络(一个激活单元)实现。但是异或门 同或门 则需要三层网络——由数理逻辑知, 可以表示成前三者的组合 ,那么就可以用三个激活单元实现异或。

同时,我们也可以发现,与前三种逻辑门不同,仅用一条直线是无法画出 决策边界的:

这也意味着:需要更复杂的特征(更深层的网络)来表达更高级的模型。

多分类问题

在介绍 逻辑回归 时,我们曾说对于多分类问题,可以实现多个标准的逻辑回归分类器,每个分类器的输出作为「属于某类」的概率,取其最大值作为预测结果即可。

在神经网络中,输出层的每一个神经元也可以视为一个逻辑回归分类器,对于 个类的问题( 时用一个神经元即可),最终可以得到 预测向量,取其最大值作为预测结果即可。

同理,在训练时也需要把标签 独热(One-Hot)编码为向量 的形式,仅有对应类的预测值为 ,再通过反向传播从输出层开始计算。

代码实现

下面以 Coursera 上的多分类数据集 ex3data1.mat 为例,这是一个手写数字的数据集。本节中忽略训练过程,使用题目提供的权重参数 ex3weight.mat 作预测。

给定的数据为 .mat 格式,是 Matlab 数据二进制存储的标准格式,在 Matlab 交互窗中输入 save xxx 即可保存所有变量到 xxx.mat 文件中。Python 中使用 SciPyloadmat 方法可以读入数据:

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import numpy as np
import scipy.io as scio
# 导入 .mat 文件需要用到 scipy.io 模块,专门用于和 Matlab 交互
data = scio.loadmat('ex3data1.mat')
print(data)
print(data['X'].shape)
print(data['y'].shape)
PYTHON

读取的文件在 Python 中以字典存储,将其打印出来为:

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{'__header__': b'MATLAB 5.0 MAT-file, Platform: GLNXA64, Created on: Sun Oct 16 13:09:09 2011',
'__version__': '1.0',
'__globals__': [],
'X': array([[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
...,
[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.]]),
'y': array([[10],
[10],
[10],
...,
[ 9],
[ 9],
[ 9]], dtype=uint8)}
(5000, 400)
(5000, 1)
PYTHON

文件中一共有 个样本,每个样本的输入是一个长为 的向量,由 灰度矩阵压缩而来;输出是一个数字,表示样本图像代表的数字。

注意:为了更好地兼容 Octave/Matlab 索引(其中没有零索引),数字 被标记为了 ,使用时可以把 换回成 ,但题目给的 ex3weight.mat 没有考虑转换;另外,数据是按列压缩的,还原回 的矩阵后其实转置了一下,这里提前转置回去方便后续编码,但题目给的 ex3weight.mat 也没有考虑。

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data = scio.loadmat('ex3data1.mat')
# 获取字典键 'X',对每行的 20x20 矩阵先转置处理,再恢复成向量
X = data['X']
X = np.transpose(X.reshape((5000, 20, 20)), [0, 2, 1]).reshape(5000, 400)
# 获取字典键 'y',展开成一维,将标签 ‘10’ 转换为 ‘0’
y = data['y'].flatten()
y[y==10] = 0
PYTHON

现在我们随机挑选 个图像显示出来:

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import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt

def plot_100_image(X):
""" sample 100 image and show them
X : (5000, 400)
"""
sample_idx = np.random.choice(np.arange(X.shape[0]), 100)
sample_images = X[sample_idx, :] # 100x400

fig, ax_array = plt.subplots(10, 10, sharey=True, sharex=True, figsize=(8, 8))

for r in range(10):
for c in range(10):
ax_array[r, c].matshow(sample_images[10 * r + c].reshape((20, 20)),
cmap=matplotlib.cm.binary)
plt.xticks(np.array([]))
plt.yticks(np.array([]))

plot_100_image(X)
plt.show()
PYTHON

下面搭建神经网络,利用已知的 实现前向传播预测:

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import numpy as np
import scipy.io as scio
from sklearn.metrics import classification_report

# load data
data = scio.loadmat('ex3data1.mat')
X = data['X'] # (5000, 400)
y = data['y'].flatten() # (5000, )
(m, n) = (5000, 401)

# load weight
weight = scio.loadmat('ex3weights.mat')
Theta1 = weight['Theta1'] # (25, 401)
Theta2 = weight['Theta2'] # (10, 26)

def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.exp(-z))

# Feed Forward Prediction
a1 = np.c_[np.ones(m), X].T # (401, 5000)
a2 = sigmoid(Theta1 @ a1) # (25, 5000)
a2 = np.r_[np.ones((1, m)), a2] # (26, 5000)
a3 = sigmoid(Theta2 @ a2) # (10, 5000)

y_pred = np.argmax(a3, axis=0) + 1 # (5000, )

# evaluation, 调库生成混淆矩阵
print(classification_report(y, y_pred, digits=3))
PYTHON

调用 SciKit-Learn 库中的 metrics,生成 精度和召回率,预测结果如下:

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              precision    recall  f1-score   support

1 0.968 0.982 0.975 500
2 0.982 0.970 0.976 500
3 0.978 0.960 0.969 500
4 0.970 0.968 0.969 500
5 0.972 0.984 0.978 500
6 0.978 0.986 0.982 500
7 0.978 0.970 0.974 500
8 0.978 0.982 0.980 500
9 0.966 0.958 0.962 500
10 0.982 0.992 0.987 500

accuracy 0.975 5000
macro avg 0.975 0.975 0.975 5000
weighted avg 0.975 0.975 0.975 5000
TEXT

ML学习笔记 #06 神经网络基础
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作者
Wei He
发布于
2022年1月12日
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